数列の処理

筑波大学農林工学系　奈佐原（西田）顕郎

数値解析では、繰り返しによって順番に解を求めて行く。すなわち、ある解が求まったら、それを足場にして次のステップでの解を求める、という作業を繰り返すのである。

そのような作業の典型は数列である。逆に言えば、数値解析は数列操作であるといっても過言ではない。高校では数列の漸化式から代数的操作によって一般項を求めたりしたが(そしてそれはめんどくさい計算だったが)、計算機を使えば、頭をひねって一般項を求めるなどと言う必要は無い。漸化式を、すなおに、そのまま計算していくだけである。そう、数値解析は(原理的には)高校数学よりも簡単なのである!

課題3-1. 1+2+3+・・・+10を計算せよ。

解説： Aの列に、1から10の数字を用意する(A2に1を入れ、A3に=A2+1と入れてA11までコピペ)。次に、B1に0を入れる(積算の初期条件)。そしてB2に、「=B1+A2」と入れてB11までコピペ。すると、Bの列に、Aの列の積算ができる。A=10に対応する部分、つまりB11に、1から10までの数字の積算が表れる。

課題3-2. 1²+2²+3²+・・・+10²を数値的に計算せよ。

385が答え。

課題3-3. S_n=1/1²+1/2²+1/3²+・・・+1/n²を、n =1〜1000について計算し、nに対するグラフを作成せよ(ただしnは対数軸とすること)。ちなみにn =∞では、S_nはπ2/6に収束することが知られている。

課題3-4. a₀=2, a_n+1=2a_n-1を満たす数列{a_n}を、n =1〜10について数値的に計算し、nに対するグラフを作成せよ。

解説： A列にnを用意し、B列にa_nを用意しよう。B2に初項2を入れ、B3には漸化式「=2*B2-1」を入れてB12までコピペ。

課題3-5. フィボナッチ数列：a_n+2=a_n+1 + a_n , a₀=1, a₁=1を、n =1〜10について数値的に計算し、nに対するグラフを作成せよ。

課題3-6. 以下の連立漸化式で定義される数列{a_n}, {b_n}を、n =1〜10について数値的に計算し、nに対するグラフを作成せよ。

a_n+1 = a_n/3 + b_n

b_n+1 = a_n - b_n/2

初期条件： a₀=1, b₀=1

ヒント： A列にn、B列にa_n、C列にb_nを配置して、初期条件を最上部に入れ、そのすぐ下に上の2つの漸化式をそれぞれB列とC列に入れて下へコピペするだけ。

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