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散乱ベクトルと散乱行列

2017/05/14 Jin Katagi(書きかけです)

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偏波

光は横波であり(※補足),進行方向に直交する方向に電場と磁場が変動する。電場と磁場は互いに直交するので(これは電磁波の基本的な性質)、横波としての性質(変動の向きや大きさ)は, 電場と磁場のどちらか片方だけを考えればよい(そこからもう片方を簡単に決定できる)。そこで、多くの場合は、磁場のことは忘れて電場についてのみ考える。

電場の向きと大きさは, 光の進行方向に垂直な平面の中のベクトル(つまり2次元のベクトル)として表される。電磁波のこのような観点を, 「偏波」という。特に, その面の中で2つの線形独立なベクトルを選んで, それを基底とすれば, 電場の向きと大きさは2次元の数ベクトルとして表される。そのベクトルのことを偏波ともいう。この基底の選び方として,水平(Horizontal)偏波と垂直(Vertical)偏波が選ばれることが多い。

特に, 電場が正弦的に変動(振動)するならば, この数ベクトル(つまり偏波)の成分は時間に対する三角関数で表される。多くの場合、sin, cosは数学的な扱いが面倒なので, オイラーの公式

e^{j \theta} = \cos\theta + j \sin \theta
を使って, 複素数で表す(ここでjは虚数単位 ... 数学では虚数単位はiをよく使うが, 工学ではiは電流を表すことが多いので, 虚数単位はjを使う)。つまり,偏波は2つの複素数で表されるのだ(正弦波とは言えない場合について偏波を考える時は, もっと別のことも考える必要があるが, ここでは偏波はあくまで正弦的であるとする)。このときのθのことを, 位相という。正弦波の位相は, 角速度ωと初期位相δを使って, θ=ωt+δと表される。従って, 正弦波の偏波の成分は,
E e^{j (\omega t + \delta)}
と表される(Eはその偏波成分の振幅)。もちろん, 実際の電場は虚数部を持たないので, この式で物理的に意味があるのは実数部だけである(虚数部は数学的な取り扱いを楽にしてくれるための「影」というか便宜的な存在である)。

さて, 偏波の2つの成分では, ωは共通だが, δは必ずしも共通ではない。従って, 正弦波の偏波は


\begin{bmatrix}
E_1 e^{j(\omega t + \delta_1)}\\
E_2 e^{j(\omega t + \delta_2)}
\end{bmatrix}
と表される。実数部だけ考えれば,

\begin{bmatrix}
E_1 \cos(\omega t + \delta_1)\\
E_2 \cos(\omega t + \delta_2)
\end{bmatrix}
となる。ここでもし, E1=E2で, かつ, δ_2がδ_1よりもπ/2だけ小さければ, 三角関数の性質(cos(θ-π/2)=sin θ)から, この偏波は

\begin{bmatrix}
E \cos(\omega t + \delta_1)\\
E \sin(\omega t + \delta_1)
\end{bmatrix}
となる(E=E1=E2とした)。これは, 等速円運動の式である。つまり, このとき電場はこの平面内で円を描く。同様に, E1=E2で, かつ, δ_2がδ_1よりもπ/2だけ大きい場合も, 電場は円を描く。いずれにせよ、これらのように電場が円を描くような偏波を円偏波という。特に, 回転の方向を区別するために, 右回り円偏波とか左回り円偏波という。どちらが右でどちらが左かは、分野や研究者によって定義が違うので、その都度、注意すべし。

偏波が正弦的な場合は, 基底として, 右回り円偏波と左回り円偏波の組み合わせが選ばれることもある。

散乱ベクトルと散乱行列

散乱行列とは

PolSARを解析するのに基本となるのが,散乱行列(Sinclair散乱行列)である.

さて, 光が物体にあたって反射(もしくは散乱)されるときは, 入射波の偏波と反射波の偏波が, 線形な関係にある。すなわち, 入射波の振幅が2倍になれば反射波の振幅も2倍になるし, 2種類の入射波を重ねあわせた波を入射波としたときの反射波は, それぞれの入射波に対する反射波の重ね合わせに一致する。そのような「入射波と反射波の関係」(線形関係)は, 2x2の複素行列で表すころができる。それを散乱行列という。散乱行列の(n, m)成分は, 入射波の第m成分で反射波の第n成分を割ったものである(n, mはそれぞれ1か2)。入射波も反射波も各成分が複素数(つまりそれぞれ位相を持っている)なので, 散乱行列の各成分も複素数である。

アンテナで水平偏波・垂直偏波を送信・受信することを考えると,送信で水平・垂直の2通り,受信で水平・垂直の2通りで偏波の組み合わせは合計4通りある. 4つの偏波を組み合わせたSARを多偏波SARと呼ぶ.

多偏波SARの送信電界と受信電界の関係は,以下の関係式で表せれる.


\bm{E^s} = \frac{\exp{-(jkr)}}{r}[S]\bm{E^t} \\
=
\frac{\exp{(-jkr)}}{r}
\begin{bmatrix}
S_{\rm HH} & S_{\rm HV} \\
S_{\rm VH} & S_{\rm VV}
\end{bmatrix}
\bm{E^t}

ここで \bm{E^t}はアンテナが送信するマイクロ波の電界ベクトル, \bm{E^s}は受信する電界ベクトル, [S]はSinclair散乱行列であり,水平偏波・垂直偏波を基底とした時の表現行列である.

例えば S_{\rm HV}は水平偏波で受信する電界ベクトルの大きさを,垂直偏波で送信した大きさで割った成分である.

またjは複素数,kは波数,rはアンテナとターゲットとの距離である.exp...の部分は行列の全成分にかかるので,以降はこの係数は無視する.

散乱行列から散乱ベクトルへ

[S]を解析することによりターゲットの情報を得ることができるが,この後の定式化でベクトル表記のほうが扱いやすいので, ベクトルで散乱行列を表すことを考える.

Pauli基底行列として以下の行列(※補足)を考える.

ここでこのPauli基底行列をどういう順番に取るかによって,散乱ベクトルの形が変わる.

ここでは辞書順(Lexicographic)に基底を取る k_{L}(HV基底散乱ベクトル)と,散乱行列と基底行列との積のTraceによって定義される k_{P}(Pauli基底行列)を考える.

k_{L}

k_{P}

k_{L}k_{P}の関係.

Coherency行列とCovariance行列

ここまでで散乱行列から散乱ベクトルを考えた.

次に散乱ベクトルを用いて,統計量を考える.

なぜ統計量を考えるか

二次統計量(※補足)を考える理由として、「複素共役をかけることによって位相誤差が打ち消され、同じ要素同士なら電力を表すことになるので、その 集合平均はノイズに強い特徴がある(参考文献[1])」がある。

まずは位相誤差について見ていく。

(書きかけ)。

また先ほど(散乱)行列→(散乱)ベクトルと変化したのに、再び行列の形に戻った。

それなら最初から(散乱)行列の形で統計量を考えればいいのでは?という疑問が浮かぶ。

(書きかけ)。

まとめ

補足

光は横波である

Pauli行列

基底行列の性質

基本的な性質はWikipediaを参照してほしい.

なぜ基底行列を選ぶのか

内積について

内積の公理は各種文献を当たってもらうとして、ここでは散乱ベクトル( k_{L}k_{P})の複素内積を取ることによって定義されるCoherencey行列・Covariance行列の意味を考える。

ユニタリ変換について

ユニタリ行列

二次統計量

参考文献

  1. 山口芳雄, 2007, レーダポーラリメトリの基礎と応用--偏波を用いたレーダリモートセンシング--,電子情報通信学会.
  2. Xinping Deng et al,Statistical Modeling of Polarimetric SAR Data: A Survey and Challenges., Remote Sens., 2017, 9, 348.
  3. PolSARpro, Polarimetry Tutorial, 1. WHAT IS POLARIZATION?: https://earth.esa.int/documents/653194/656796/What_Is_Polarization.pdf

PolSAR入門に戻る。

Last modified:2017/05/26 10:02:49
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References:[PolSAR入門]