光による環境計測

2022/10/10 奈佐原顕郎

熱放射

\[ F(\lambda, T)d\lambda = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5}\frac{d\lambda}{\exp\Bigl(\frac{hc}{\lambda k_{\text B}T}\Bigr)-1} \] h，c，k_Bはそれぞれ，プランク定数，光速，ボルツマン定数である。

演習1: 上の式を手書きで3回, 紙に書いて記憶せよ

演習2: F(λ, T)をλの関数とみて, Tが300 Kのときと6000 KのときのそれぞれのグラフをPythonで描け。

演習3: 実際の太陽のスペクトルを見てみよう。パソコンでpythonを使い, 現在最も正確・精密に観測されている太陽放射照度スペクトルを, 以下のようにしてグラフに描け。

import netCDF4
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import os
import urllib.request

url='https://lasp.colorado.edu/lisird/resources/lasp/hsrs/hybrid_reference_spectrum_p005nm_resolution_c2021-03-04_with_unc.nc'
filename=os.path.basename(url)
urllib.request.urlretrieve(url, filename)
nc = netCDF4.Dataset(filename, 'r', format="NETCDF4")
x=np.array((nc['SSI'][:], nc['Vacuum Wavelength'][:]))
plt.xlabel("wavelength / nm")
plt.ylabel("spectral irradiance / (W m-2 nm-1)")
plt.xlim([200,1200])
plt.plot(x[1], x[0], lw=0.01, color="black")
plt.show()

演習4: 太陽スペクトルを黒体放射で近似できるかどうか, やってみよう。太陽から地球までの距離R, 太陽半径rを使って, 太陽がT=5780 Kの黒体放射をしていた場合（地球到達時には(r/R)^2倍になっている）と比較せよ。

def planck(wl, T):
   h=6.62607015e-34
   c=299792458.0
   kB=1.380649e-23
   return((2*np.pi * h * c*c / (wl**5))/(np.exp(h*c/(wl*kB*T))-1))
wl=np.arange(2e-7, 1e-6, 1e-8) 
R=1.5e11
r=696340.0e3
T=5780.0
#plt.plot(wl*1.0e9, ((r**2)/(R**2))*planck(wl, T))
wl=np.arange(2e-7, 3e-6, 1e-8) 
plt.plot(x[1], x[0], lw=0.1, color="black")
plt.plot(wl*1.0e9, ((r**2)/(R**2))*planck(wl, T)/1.0e9)
plt.show()

演習5: この記事↓を参照し, プランクの法則を導け。

プランクの法則

演習6: 「大学生のための応用数学入門」P105 演習問題9, 10を参照し, プランクの法則からステファン・ボルツマンの法則を導け。演習7: 以下の手順でウィーンの変位則を導出せよ。

x=hc/(λ kB T)と置き, プランク関数F(λ, T)をxとTの関数で表わせ。関数全体にかかる定数係数は省略してよい（微分してピーク位置を求めるときには無関係なので）。
それをsで微分して, =0となる条件から, 以下の方程式を導け: (x-5)e^x + 5 =0
この方程式を満たすxの値を求めよう。Geogebraなどのグラフソフトで, y=(x-5)e^x + 5のグラフを描き, x=5あたりにある零点（y=0となるx）の値を有効数字5桁で求めよ（グラフをどんどん拡大すればよい）。x=4.96...あたりになるはずだ。その値をxがとるときにプランク関数は極値（おそらく極大）となるはずだ。
そのxの値を実現するλの値を求めよ。1で定義したx=hc/(λ kB T)をλ=に変形して, 数値を放り込んでいけばよい。h, c, kBの値はそれぞれ本やネットで調べよう。Tは最後まで残る。
その結果を整理して（するまでもないかもしれないが）, ウィーンの変位則を示せ。

光による環境計測

熱放射

量子としての光（光子）